Nachdem wir im letzten Video gesehen haben, dass sich die Lösung von autonom gewöhnlichen

Differentialgleichungssystemen als lokale Phasenflüsse interpretieren lassen, wollen wir in diesem

Video einen Schritt zurücktreten von der abstrakten Mathematik und uns dafür ein Werkzeug anschauen,

das uns geometrisch anschaulich klarmacht, wie sich Lösungen von kontinuierlichen dynamischen

Systemen verhalten. Darum werden wir in diesem Video speziell uns mit Phasenporträts beschäftigen

und diese Phasenporträts werden es uns erlauben, die wichtigsten Eigenschaften und Charakteristika

dynamischer Systeme auf einen Blick sozusagen zu erfassen. Dafür wollen wir erstmal definieren,

was wir unter einem Phasenporträt verstehen und dazu brauchen wir auch noch einige Hilfsbegriffe.

Die Terminologie müssten wir jetzt einführen. Das heißt, zuerst beginnen wir mit einer Definition von

Phasenporträts. Wir brauchen in diesem Kontext das Phasenporträt natürlich eine spezielle

Abbildung, den Phasenfluss, der auch wieder auf einem erweiterten Phasenraum definiert ist. Das

heißt, wir beginnen mit es sei eine Funktion, eine Abbildung V gegeben. Das kennen wir nun schon,

das von einem erweiterten Phasenraum G abbildet in den Phasenraum U. Dies ist ein Phasenfluss.

Die Definition kennen wir noch, haben wir bereits eingeführt und zwar ein Phasenfluss in dem Fall

eines gewöhnlichen Differentialgleichungssystems.

Differentialgleichungssystems für den erweiterten Phasenraum, den wir als G bezeichnet haben. Und G

ist auch wie immer bei uns hier ein kathesisches Produkt aus einem Zeitintervall I Kreuz U und das

soll eine Teilmenge sein der nicht negativen reellen Zahlen Kreuz einer Teilmenge des R auch N.

Das sind die Voraussetzungen. Jetzt sind wir wieder im Setting und dann können wir erstmal

folgende Terminologie für diesen Fluss einführen, bevor wir genau sagen, was ein Phasenporträt ist.

Dann können wir folgende Begriffe für den Fluss einführen.

Zuerst wollen wir definieren, was eine Bahnkurve ist. Und zwar sagen wir für jeden Startwert x0

aus dem Phasenraum, können wir uns eine Funktion anschauen, die sozusagen die Zeit t auf den

Fluss, den wir zur Zeit t aus dem Punkt x0 heraus uns anschauen und das nennen wir eine Bahnkurve. Das heißt

für jedes x0 aus U nennen wir folgende Funktion und die könnten wir wie folgt bezeichnen,

quasi als Phi eingeschränkt auf x0 von t. Die Prinzip dann nichts anderes ist,

wie jedes t wird zugeordnet dem Wert des Phasenflusses, wenn wir in x0 starten und

mit Zeit t uns fortbewegen. Dann haben wir diese Abbildung, diese Funktion, die nennen wir eine

Bahnkurve durch x0. Das heißt wir geben uns einen Startpunkt vor und von dem starten wir und lassen

t laufen und diese Abbildung, die nennen wir Bahnkurve. Jetzt kommen wir zum nächsten Begriff, den wir

definieren wollen und zwar definieren wir jetzt keine Funktion, sondern eine Menge und diese Menge

wollen wir mit groß o bezeichnen in Abhängigkeit des Punktes x0 und dies definiert im Prinzip als

alle Werte, die der Fluss einnimmt, entlang gewisser Punkte der Bahnkurve, sprich wenn wir sagen,

das ist die Menge aller Punkte im Phasenraum, wenn ich entlang t von x0 ausgehe und x0 war der

vorgegebene Startwert, wobei gelten muss, dass das Tupel t und x0 im erweiterten Phasenraum lebt.

Da geht es jetzt also sozusagen um die Punkte, die uns eine Bahnkurve generiert. Ganz wichtig,

die Bahnkurve ist die Funktion und die Menge der Punkte, die die Bahnkurve sozusagen durchläuft,

das nennen wir einen Orbit oder Trajektorie, das wollen wir jetzt definieren. Orbit oder Trajektorie

und zwar durch x0. An der Stelle können wir das vielleicht schon mal wieder zeichnen,

wie das Ganze wir uns vorstellen müssen, geben ein Punkt x0 im Phasenraum, dann nennen wir jetzt

etwas eine Trajektorie, nämlich all die Punkte, die auf solch einer Linie liegen, die uns der

Fluss sozusagen gibt, indem wir einfach t ablaufen und t durchläuft, alle nicht negativen realen

Zahlen und in x0 starten und das hier soll gerade die Länge t sein. Ganz wichtig ist jetzt, dass die

Einschränkung des Phasenflusses auf diesen Punkt, das ist ja eine Abbildung, das nennen wir die

Bahnkurve und die Punkte selbst, die erzeugt werden im Phasenraum, das sind unsere Orbits

oder Trajektorien. Dann noch einen speziellen Orbit definieren, den nennen wir Ruhrlage,

wie der Name schon sagt, hätten wir gerne, dass dort Ruhe ist, das heißt dort soll nichts passieren,

also einen Orbit nennen wir Ruhrlage, falls sozusagen der Orbit von diesem Punkt gerade

nur den Punkt heraus gibt, wenn ich mir den Orbit anschaue in einem Punkt x0 und die ganze

Menge an Punkten, die wieder rauskommt, ist nur der Punkt x0, dann nenne ich das Ruhrlage und das kann